谈解题思维活动过程的展示

杨学军

高考命题的改革正朝着考三基，考思维，考能力的方向转变，其目的是为了培养和选拔专业扎实，知识全面，有创新精神的一代新人。然而，那种重结果，轻过程，“题型加方法”的教学模式依然普遍存在，这种现象极大影响了素质教育的实施，而且在当今计算机技术在网络教学中的运用越来越广泛，教师在未来教学中的地位和作用面临着严峻的挑战，作为一名已跨入二十一世纪的青年教师不得不对自己的教学重新审视，本文就“解题思维过程”这一话题谈谈自己的体会。

　　一、现象和反思

　　在平时的解题教学过程中，发现教师自己分析解题思路头头是道，学生也是听地津津有味，可是到头来学生的解题能力仍不理想，常常要依靠教师的启发才能打开思路，比如以下这题：

例：已经知a，b为实数，求证：a²+b²≥ab+a+b-1           

　　许多学生将该不等式变形为（a-b）²≥（a-1）（1-b），而有的学生则一筹莫展，思维出现梗塞。这时教师提示“不等式两边同时乘以2”，于是学生领悟，可以很快联想到a+b-2ab≥ 0，（a-1）²=a²-2a+1≥ 0，（b-1）²=b²-2b+1≥0，三个不等式相加，于是将问题解决。而变形为(a-b)²≥(a-1)(1-b) 的学生还以为这种变形方法行不通，准备放弃。于是教师又针对这部分同学提示：“观察a-1 与1-b 的关系。”这时有的学生又顺着这一思路发现a-b=(a-1)+(1-b),那么（a-b）²=[（a-1）+（1-b）]²  只证（a-1）²+（1-b）²-（a-1）（1-b）≥0即可从表面上看，教师在处理着一问题的过程中用到了“启发式”，但学生则有一个最大的疑问：“我为什么就想不到呢？”其实以上教师的提示，只能算做教师自己解题的思路，学生跟着教师的思路走，学生不清楚这些思想方法是怎样得来的，结果还是知其然，不知所以然。

　　反思这一现象的原因在于教师缺乏展示思维过程的思想动机。解题是数学学习的重要形式，数学教学应是数学活动过程的教学，解题教学就是解题思维活动过程的教学。教学生如何思考就是解题教学的目的，解题教学的目的不能只是为了让学生听懂自己的解题方法，或一味传授某种技术能，更重要的是让学生了解分析问题的思维全过程。

　　97年高考应用题（第22题）的第2问：“为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？”。根据统计，绝大多数考生仅只运用重要不等式a+b≥2 来求最值，而忽视了取等号的条件，这一事实所暴露出的解题思维方面的问题不言而喻。

　　二、解题教学的核心是思维过程的展示

　　数学解题思维的全过程是从理解题意开始的，它经历了探索思路，转化问题，解决问题，回顾反思四个阶段，用八个字表示就是理解，转化，实施，反思。如果平时教师注重的是自己的理解和和现成的解题思路和过程，没有展示解题思维活动的过程，特别是解题思路的探索过程，那就使得解题教学失去了了应有的功能。

　　理解是解题活动的开始，理解的思维活动主要是通过阅读活动弄清题目的已知，未知，再现题中涉及的知识，培养学生回想，感知等思维活动的能力。转化是解题思维活动的关键，是探索解提方向和途径的积极尝试过程，是思维策略的选择过程，是通过比较、分类、归纳、演绎、抽象、概括、联想、分析综合等一系列的思维活动，来再现数学应用过程中的数形结合思想、分类思想、函数思想、方程思想等一系列的思想方法，又通过诸如：以美求真、动静互换、正难则反、差异分析等许多思维策略的选择，在选择中调整方向从而在探索过程中达到训练学生思维的目的。实施则是一系列基础知识和基本技能的灵活运用的过程的具体表述，是解题思维活动过程的重要组成部分，是落实双基的重要形式，通过运算、推理培养的逻辑思维能力和运算能力。反思是知识运用的同化阶段，是数学理论知识的迁移和解题思维过程的再现，目的在于通过这种思维过程的再现，深刻理解数学基本原理和基本方法是在怎样的数学思想或数学观念的指导下获得的。提炼数学思想方法，体会数学思想或数学知识的作用。同时这种反思是数学活动过程的辨证体现，是一个思维活动过程的结束，同时也是另一新的思维活动的开始。学生灵活应变举一反三的能力，往往是在反思的过程中形成的。因此，对上述例题而言，教师应从理解、转化、实施、反思等几个方面着手，能够反映出思维活动过程，使学生在解题过程中不断总结经验，锻炼思维，增强自信，激活学生的创造性思维。

　　三、具体方法

　　没有问题也就没有思维，在“怎样解题”的问题上，大多数有经验的教师都采用一连串问句与建议来表示思维的探索过程。其关键在于不断变换问题，连续的化简问题，最终归结为熟悉的基本的问题加以解决。对于具体问题如何加以引导，教师应本着以学生为主体，教师为主导的原则来开展双边的思维活动 ，切末操之过急。

　　例：求1+（ + i）⁷  的辐角主值的度数。

　　首先理解题目中的知识点，理解条件和结论的意思，把结果的形式写出来，从而让学生逐步感知问题的整体印象，进入角色，学生将（ + i ）转化为cos +i sin 后得出1+（cos +isin ），若再为代数形式1- － i，便发现无法再通过特殊值找到具体的度数。围绕问题的关键，这时不妨这样来设问：这是什么类型的问题？你以前见过类似的问题吗？你是否可以用至少一种的转化方法吗?哪些复数可以直接判断出它的辐角主值？能否利用以前的解题方法吗？怎样利用？通过问题的引导使学生确定出自己的解题方向，当然问题提出的时间，顺序，以及方式都是有讲究的，是有艺术性的，这要根据双边活动的进程来确定。这时有的学生识别出问题等同于将1+cosθ+sinθ  转化为三角形式的问题；有的则与复数的加法或减法的几何意义相联系，运用几何手段转化。而有的学生则过求辐角的正切tan[arg（1+cos ＋isin ）］= ,化简 ＝tan ，结合实部、虚部的符号判断出复数主值为2∏－ ＝ ，

　　以上过程并非教师直接提示解法，而是遵循思维的自然活动过程和知识的发生、发展过程。在实施解题的过程中引导学生领会复数的三角形式的应用特点，如何用三角函数的知识解决复数问题，以及复数中向量的运算等。

　　结果出来后，应当回顾反思，结果是否正确？能否用别的方法解此题？解题是否最简？解此问题对你有什么帮助？含有什么思想方法？等等。通过双边的思维活动过程，加深对所知识的认识，逐步发展学生的思维能力，提高思维的品质和解题技能，完善知识的结构。

　　四、结束语

　　展示思维活动的过程不是一句空话，它是具体的、可操作的，也是十分复杂，十分重要的。教师教学艺术水平的体现是多方面的，而教师在双边思维活动过程中所表现出来的独特作用是衡量一名教师积极水平的重要方面，是任何事物所无法取代的。

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